晴天有时候下猪

TV模型数学理论

$\hspace{1cm}$TV模型与基于偏微分方程的主要用于修复较小的图像缺失区域和噪声，假设$u^0$是一个定义在二维平面$\Omega$上的光滑影像函数， $D$是一个待修复的区域，其区域直径为$d$，令$u^0|_d$为在区域$D$上$u^0$的限制，则影像的修复过程可以描述为获取$u_D$在$u^0|_d$上的拟合。
$\hspace{1cm}$如果区域$D$的直径$d$收缩到0，则可以采用线性插值的方法获取任意光滑的测试数据$u^0$：
$$\lVert u_D-d^0|_D\rVert_{\infty}=O(d^2)\hspace{1cm}(1)$$ 同样，影像修复过程可以使用k阶修复方式：
$$\lVert u_D-d^0|_D\rVert_{\infty}=O(d^{k+1})\hspace{1cm}(2)$$

二阶格林公式1影像修复

数学基础

假设$\Delta$表示拉普拉斯算子： $$\Delta u:=\frac{\delta^2u}{\delta x^2}+\frac{\delta^2u}{\delta y^2}\,.\hspace{1cm}(3)$$ 在区域$D$上的二阶格林公式为： $$\int_D(u\Delta v-v\Delta u)dxdy=\int_{\Gamma}(u\frac{\delta v}{\delta \textbf{n}}-v\frac{\delta u}{\delta\textbf{n}})ds\,,\hspace{1cm}(4)$$ 其中：$u$和$v$为在闭合环$D$上定义的二维函数，n为区域边界$\Gamma$上定义的朝外的法向量，$s$为边界的长度。
$\hspace{1cm}$假设$G(z_0,z)$是一个基于在$D$上基于珀松方程的格林函数，格林函数的意义为：$z_0$处所产生的脉冲对$z$处的场的作用，他是距离的函数，则对于任意一个$z_0=(x_0,y_0)\in D$，作为对应的点$z=(x,y)\in D$则$G(z_0,z)$求解为：
$$-\Delta G=\delta(z-z_0)\,,G|_{\Gamma}=0\,.\hspace{1cm}(5)$$ 则应用格林二阶函数（$u=u^0(z),v=-G(z_0,z)$）则讲$u,v$代入公式（4）中，可以得到：
$$u^0(z_0)=\int_\Gamma u^0(z(s))\frac{\delta(-G(z_0,z))}{\delta\textbf{n}}ds+\int_DG(z_0,z)(-\Delta u^0(z))dz\hspace{1cm}(6)$$ 其中$dz=dxdy\,.$公式(6)中的第一项表示为$u^h(z_0)$表示$f=u^0|_\Gamma$的光滑的扩展。

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到公式（6）开始我就开始看看不懂了，简单的来说公式（4）就是格林公式，然后将$u,v$代入到公式（4）中得到公式（6），但是具体怎么得到的由于数学基础不够没法进行数学证明

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$$dw_{z_0}=\frac{\delta(-G(z_0,z))}{\delta\textbf{n}}ds\hspace{1cm}(7)$$ 为边界$\Gamma$与源点$z_0$关联的和谐程度的度量，而非和谐程度可以表示为$u^a=u^0-u^h$且满足泊松方程2: $$\Delta u^a(z)=\Delta u^0(z)\,,z\in D\,,\qquad and\,\,u^a|_\Gamma=0\hspace{1cm}(8)$$
假设$d$为待修复影像区域$D$的直径$G(z_0,z)$是泊松分布的格林函数，则有以下条件成立：
$$\int_DG(z_0,z)dxdy\le\frac{d^2}{4}\,.\hspace{1cm}(9)$$
公式（9）的证明有兴趣的可以参看原文3 ，基于上述理论我们可以很简单的建立准确的基于二阶格林公式的影像修复方法：
（a）Linear inpainting via harmonic extension 假设我们只通过和谐扩展修复$u^0|_D$，则线性修复的表达为：
$$\lVert u^h-u^0|_D\rVert_\infty=O(d^2)\hspace{1cm}(10)$$
当$d\to0$时公式（10）成立，根据公式（6）均匀性修复误差正好就是非均匀性组份$u^a$。由于$u^0$为固定的光滑函数，因此存在常量$M$使得满足:
$$|\Delta u^0(z)|\le M\hspace{1cm}(11)$$
对于所有的$z\in D\,.$上式都成立，且对于$z_0\in D$根据公式（9）则有：
$$|u^a(z_0)|\le M\int_DG(z_0,z)dz\le \frac{Md^2}{4}\,.\hspace{1cm}(12)$$
（b）Cubic inpainting via Green’s formula 为了提高影像修复的精度，除了需要对整体结构进行修复外还需要对细节组份$u^a$进行修复。假设$u^\Delta_D$为线性修复的结果，然后我们修复$u^a|_D$通过$u^a_D$根据如下积分方程：
$$u^a_D(z_0)=\int_DG(z_0,z)(-u^\Delta_D(z))dz\,,\hspace{1cm}(13)$$
或者通过求解已知的泊松方程：
$$-\Delta u^a_D(z)=-u^\Delta_D(z)\,,\quad z\in D;\quad u^a_D|\Gamma=0\hspace{1cm}(14)$$
最后将这些新的细节信息加到均匀性修复过程中，可疑得到更加准确的修复结果$u_D$
$$u_D(z)=u^h(z)+u^a_D(z)\,.\hspace{1cm}(15)$$

局限性

实际上上述模型在大部分情况下是不适用的，因为：
1.影像通常情况下来说并不是平滑的函数，而是包含各种边界信息和非连续性的
2.影像在统计上也不能完全一致，由于存在影像噪声

全局变差模型的影像修复

模型数学基础

如上图所示，其中$D$为待修复区域，待修复区域具有分段光滑的边界$\Gamma$，$E$为待修复边界的外环。假设$u^0|_E$是被白噪声污染的区域，则基于变差修复模型为在扩展域找到变差函数$u$使得如下规则函数取得最小值：
$$R[u]:=\int_{E\bigcup D}r(|\Delta u|)dxdy\,,\hspace{1cm}(16)$$
在以下约束下：
$$\frac{1}{Area(E)\int_E|u-u^0|^2dxdy=\delta^2\hspace{1cm}(17)}$$
对式（16）（17）求解其欧拉拉格朗日方程为：
$$J_\lambda[u]=\int_{E\bigcup D}|\Delta u|dxdy+\frac{\lambda}{2}\int_E|u-u^0|^2dxdy\,,\hspace{1cm}(18)$$
其中$\lambda$为拉格朗日乘数子，则剩下的问题为求解这个欧拉拉格朗日方程。