DCT——离散余弦变换

DCT变换数学基础

1D序列的离散余弦变换为：
$$C(u)=\alpha(u)\Sigma_{x=0}^{N-1}f(x)cos[\frac{\pi(2x+1)u}{2N}]\hspace{1cm} (1)$$
其中$u=0,1,2,...,N-1\,.$ $f(x)$为原始数据值，$C(u)$为转换后频率值，则对于(1)式存在逆变换
$$f(x)=\Sigma_{u=0}^{N-1}\alpha(u)C(u)cos[\frac{\pi(2x+1)u}{2N}]\hspace{1cm} (2)$$
其中$x=0,1,2,...,N-1\,.$在式(1)和式(2)中$\alpha(u)$定义为：
$$\begin{equation} \alpha(u)= \left\{ \begin{array}{lr} &\sqrt{\frac{1}{N}} \\ &\sqrt{\frac{2}{N}} \end{array} \right. \hspace{1cm}(3) \end{equation}$$
2D离散余弦变换公式为：
$$C(u,v)=\alpha(u)\alpha(v)\Sigma_{x=0}^{N-1}\Sigma_{y=0}^{N-1}f(x,y)cos[\frac{\pi(2x+1)u}{2N}]cos[\frac{\pi(2y+1)v}{2N}]\hspace{1cm}(4)$$
对于公式(4)有$u,v=0,1,3,...,N-1$并且$\alpha(u)$和$\alpha(v)$都在公式(3)中定义了。则2D离散的DCT变换的逆变换为：
$$f(x,y)=\Sigma_{u=0}^{N-1}\Sigma_{v=0}^{N-1}\alpha(u)\alpha(v)C(u,v)cos[\frac{\pi(2x+1)u}{2N}]cos[\frac{\pi(2y+1)v}{2N}]\hspace{1cm}(5)$$

3D余弦变换：
3D余弦变换的主要是对序列影像进行的变换，3D
余弦变换的公式同2D，1D余弦变换相同，首先对各个影像单独进行余弦变换，然后对于每一个影像像元的序列组成的一维数据进行余弦变换，从而得到3D余弦变换的结果。

DCT变换的属性

1.去相关性：主要优势为移除邻域像素之间的冗余。
2.数据能量压缩：
3.可分离性：
公式(4)可以被描述为：
$$C(u,v)=\alpha(u)\alpha(v)\Sigma_{x=0}^{N-1}cos[\frac{\pi(2x+1)u}{2N}]\Sigma_{y=0}^{N-1}f(x,y)cos[\frac{\pi(2x+1)v}{2N}]\hspace{1cm}(6)$$
可分离性的主要优势在于能够通过1D的处理分别进行行列处理。
4.对称性：对称性表现在进行行转换和进行列转换都是独立的，一个分离的对称变换可以被描述为：
$$T=AfA\hspace{1cm}(7)$$
其中$A$为对称转换矩阵，且其中的元素$a(i,j)$的值为：
$$a(i,j)=\alpha(j)\Sigma_{j=0}^{N-1}cos[\frac{\pi(2j+1)i}{2N}]$$
这样，在计算过程中可以事先计算出矩阵$A$然后通过变换矩阵进行处理
5.正交性：正交性指的是DCT变换的基矩阵是正交的，整个逆转换的过程通过公式(6)可得：
$$f=A^-1TA^-1$$
由于$A$是正交矩阵，因此其转置和逆是相同的，在逆变换的过程中可以直接通过求转置快速处理。
在了解余弦变换的过程中顺便完成了余弦变换的代码