晴天有时候下猪

引言

大部分纹理合成的方法可以通过使用何种纹理类型模型来进行分类，包括反应扩散模型，频率域方法，分形的理论与方法或者是统计和随机场方法。有一些使用混合模型的方法，包括确定性组份方法和随机组份方法。除了上述纹理之外还有扫描图像和手绘图像的纹理特征。本文着重于对随机纹理进行处理，目前对于纹理区分的理论主要基于以下假设：

当两种纹理在在频率和空间域的的频率分布是相同的，则这两种纹理难以区分出来，这个理论是建立在人类纹理感知的基础之上的。

影像金字塔

线性转换代表影像基函数的加权和，因此影像可以表示为： $$I(x,y)=\Sigma_iy_ig_i(x,y)\,,\hspace{1cm}(1)$$ 其中$I(x,y)$表示影像，$g_i(x,y)$为基函数，$y_i$为转换系数，转换系数是通过将信号投影到一系列投影函数中： $$y_i=\Sigma_{x,y}h_i(x,y)I(x,y)\,.\hspace{1cm}(2)$$ 比如傅立叶转换的基函数为空间频率变化的正弦函数，余弦函数。
影像金字塔也是一个典型的子带转换，影像金字塔的特征是基函数（投影函数）可以通过彼此的基函数的平移和膨胀得到（和膨胀的转换因子为$2^j$其中$j$为整数）。影像金字塔子带是通过卷积和降采样得到的，对于一系列的$j$降采样因子以$2^n$增长。

拉普拉斯金字塔

拉普拉斯金字塔的构造主要有两个步骤：1.缩减；2.扩张；缩减操作使用一个因子为2的降采样低通滤波器在各个唯独上进行处理，扩张操作使用一个因子为2的升采样因子，像素点之间的值用0填充。最常见的低通滤波核为：$\frac{1}{16}(1,4,6,4,1)\,.$一个完整的金字塔影像层包含两景影像：$l^0(低通滤波影像)$和$b^0$高通滤波影像，两景影像通过如下公式计算： $$l^0=Reduce(im)\\b^0=im-Expand(10)\,,$$ 其中$im$为原始的输入影像，原始影像可以通过$b^0$和$l^0$恢复：
$$recontructed-im=b^0-Expand(l^0)\,.\hspace{1cm}(3)$$ 下一层的金字塔也通过对$l^0$进行同样的操作获取，得到$l^{i+1}$和$b^{i+1}$

方向金字塔

有方向或者是长条型结构的纹理通过拉普拉斯金字塔不能够被探测到，因为拉普拉斯金字塔的基函数是径向对称的，为了合成各向异性的纹理，可以采用方向金字塔转换。方向金字塔和拉普拉斯金字塔一样，都是将影像分解为几个空间频带，另外对于每个空间频带，进一步划分为一系列的方向频带。

上图说明了使用方向金字塔进行纹理分析与合成的过程，左边的范式为分析部分，主要是构造方向金字塔的过程，右边是合成部分，通过纹理合成进行金字塔合成，在两个过程中的圆圈表示影像子带分解。方向金字塔首先通过一个径向对称频率响应的，高通滤波对应于四个方向。每一个连续层的金字塔都由上一层的低通滤波组成，$B_i$表示的是各个方向的带通滤波器。注意到金字塔影像像素远大于原始影像像素，但是只有低通滤波结果被降采样了，这样做能够在每个子带最小化混淆现象，避免混淆现象很重要，因为基于金字塔的纹理合成方法对每一个子带处理是独立的。

处理过程

直方图匹配

直方图匹配是对两景影像直方图进行匹配获取：（1）一幅影像的累积分布函数；（2）另一幅图像的逆累积分布函数。直方图匹配的处理过程为：

Match-histogram (im1,im2)
    im1-cdf = Make-cdf(im1)
    im2-cdf = Make-cdf(im2)
    inv-im2-cdf = Make-inverse-lookup-table(im2-cdf)
    Loop for each pixel do
        im1[pixel] =
            Lookup(inv-im2-cdf,
            Lookup(im1-cdf,im1[pixel]))

纹理匹配

纹理匹配的主要过程是对输入的噪声影像进行修改，使其与输入的纹理图像相似，1.匹配噪声图像的直方图和输入纹理的直方图；2.从修改后的噪声和纹理影像中构造金字塔；3.在两个金字塔数据循环，获取最佳的直方图匹配的金字塔子带；4.进行直方图匹配，生成初步的合成纹理。为了使得像素和金字塔直方图匹配都能够最好的匹配，进行迭代重新匹配影像直方图和子带金字塔直方图。

Match-texture(noise,texture)
    Match-Histogram (noise,texture)
    analysis-pyr = Make-Pyramid (texture)
    Loop for several iterations do
        synthesis-pyr = Make-Pyramid (noise)
    Loop for a-band in subbands of analysis-pyr
         for s-band in subbands of synthesis-pyr
         do
         Match-Histogram (s-band,a-band)
    noise = Collapse-Pyramid (synthesis-pyr)
    Match-Histogram (noise,texture)

目前文章1并没有对其收敛性进行证明，但是文章给出经验在处理过程中总是能够收敛，由于滤波器并不是完美的，迭代次数过多会引入重构误差。
除了以上处理以外还包括辩解处理，颜色处理，纹理混合等操作。

结论

局限性

文章2提出的算法还是有着其局限性：1.输入的纹理应该是一个均匀的纹理，如果纹理不均匀，则合成的结果会出现污斑现象；2.算法对于准周期性纹理和随机镶嵌的纹理并不适用；3.对于局部存在方向性，但是不同影像部分方向不同的纹理并不适用；

结论

文章提出了一种纹理合成的方法，其主要的有点在于本文提出的方法十分简单，在处理过程中并不需要理解复杂的纹理结构。