晴天有时候下猪

MAP数学模型

令$z_{x,y}$和$g_{x,y}$分别为输入的辐亮度和传感器的响应，在位置$(x,y)$则传感器的成像模型可以表达为：
$$g_{x,y}=A_{x,y}z_{x,y}+B_{x,y}+n_{x,y}\hspace{1cm}(1)$$
则公式（1）的向量表示形式为：
$$\textbf{g}=\textbf{Az}+\textbf{B}+\textbf{n}\hspace{1cm}(2)$$
假设$\textbf{z}$为正确的影像，$\textbf{g}$为退化影像，则影像修复可以表示为：
$$\hat{x}=argmax_zp(\textbf{z}|\textbf{g})\hspace{1cm}(3)$$
则上式的贝叶斯公式表示为：
$$\hat{x}=argmax_z\frac{p(\textbf{g}|\textbf{z})}{p(\textbf{g})}\hspace{1cm}(4)$$
由于在$p(\textbf{z}|\textbf{g})$中$\textbf{g}$是独立的，因此公式（4）可以描述为：
$$\hat{x}=argmax_zp(\textbf{g}|\textbf{z})\hspace{1cm}(5)$$
公式（5）中等式右边第一项为：
$$p(\textbf{g}|\textbf{z})=\frac{1}{M_1}exp \{-\frac{1}{2}(\textbf{g-Az-B})^T\textbf{K}^{-1}\textbf{g-Az-B}\}\hspace{1cm}(6)$$
其中$\textbf{K}$为噪声的协方差矩阵，假设噪声在各个波段是独立的，则$\textbf{K}$为一个对角矩阵，则可以简化为：
$$p(\textbf{g}|\textbf{z})=\frac{1}{M_1}exp\{-\frac{1}{2}\lVert Q(\textbf{g}-\textbf{Az}-\textbf{B}) \rVert^2\}\hspace{1cm}(7)$$
其中$Q$为对角矩阵。
而公式(5)中等式右边第二项为：
$$p(\textbf{z})=\frac{1}{M_2}exp\{-\frac{1}{2\lambda}\Sigma_{x,y}\Sigma_{c\in C}\rho(d_c(z_{x,y})) \}\hspace{1cm}(8)$$
其中$M_2$是一个常数，$c$是一个影像类别数据集$C$中的一类，则数量$d_c(z_{x,y})$是像素$z_{x,y}$的空间测度，通常构成形式为一阶导或者是二阶导，$\rho(\cdot)$是Huber函数1：
$$\rho(i)=\left\{ \begin{array}{lr} i^2\quad |i|\le \mu \\ 2\mu|i|-\mu^2\quad |i|\gt\mu \end{array} \hspace{1cm}(9) \right.$$
对于$d_c(z_{x,y})$,在四个方向上计算二阶导，则有：
$$\begin{array}{lr} d^1_c(z_{x,y})=z_{x-1,y}-2z_{x,y}+z_{x+1,y}\quad(10)\\ d^2_c(z_{x,y})=z_{x,y-1}-2z_{x,y}+z_{x,y+1}\quad(11)\\ d^3_c(z_{x,y})=\frac{1}{\sqrt{2}}[z_{x-1,y-1}-2z_{x,y}+z_{x+1,y+1}]\quad(11)\\ d^4_c(z_{x,y})=\frac{1}{\sqrt{2}}[z_{x-1,y+1}-2z_{x,y}+z_{x+1,y-1}]\quad(11) \end{array}$$
将式（7）、（8）代入到公式（5）中有：
$$\hat{z}=argmin\lambda\lVert \textbf{Q}(\textbf{g}-\textbf{Az}-\textbf{B}) \rVert^2+\Sigma_{x,y}\Sigma_{c\in C}\rho(d_c(z_{x,y}))\hspace{1cm}(14)$$