背景：
相信很多同学都知道“贝塞尔曲线”这个词，我们在很多地方都能经常看到。但是，可能并不是每位同学都清楚地知道，到底什么是“贝塞尔曲线”，又是什么特点让它有这么高的知名度。
贝塞尔曲线的数学基础是早在 1912 年就广为人知的伯恩斯坦多项式。但直到 1959 年，当时就职于雪铁龙的法国数学家 Paul de Casteljau 才开始对它进行图形化应用的尝试，并提出了一种数值稳定的 de Casteljau 算法。然而贝塞尔曲线的得名，却是由于 1962 年另一位就职于雷诺的法国工程师 Pierre Bézier 的广泛宣传。他使用这种只需要很少的控制点就能够生成复杂平滑曲线的方法，来辅助汽车车体的工业设计。正是因为控制简便却具有极强的描述能力，贝塞尔曲线在工业设计领域迅速得到了广泛的应用。不仅如此，在计算机图形学领域，尤其是矢量图形学，贝塞尔曲线也占有重要的地位。今天我们最常见的一些矢量绘图软件，如 Flash、Illustrator、CorelDraw 等，无一例外都提供了绘制贝塞尔曲线的功能。甚至像 Photoshop 这样的位图编辑软件，也把贝塞尔曲线作为仅有的矢量绘制工具（钢笔工具）包含其中。
形式：
1.线性贝塞尔曲线：
2.二次贝塞尔曲线：
二次贝塞尔曲线是给出三个点，得到的贝塞尔曲线，贝塞尔曲线的函数为：
从以上t的变化可以看出，二次贝塞尔曲线就是一条抛物线
3.三次贝塞尔曲线：
4.N次贝塞尔曲线
由以上公式可以推出，对于一般化的贝塞尔曲线，有如下形式：
贝塞尔曲线的构造很简单，但是却有一些十分有趣的性质，对于一个贝塞尔曲线来说，如：贝塞尔曲线是光滑曲线。贝塞尔曲线还有一个十分重要的性质：起始线和第二个点决定了点的起始方向，倒数第二个点和最后一个点确定了曲线的出射方向，使用这一特性在机器人足球，避障等算法中都有大量应用：
下图可以很好的帮助大家理解贝塞尔曲线（图片来自wiki：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B2%9D%E8%8C%B2%E6%9B%B2%E7%B7%9A#.E8.A1.93.E8.AA.9E）
//opencv贝塞尔曲线工具
const int WW_MAX_MARK_COUNT = 40; //最大40个控制点
static int mark_count = 4;
static int conner_pt_index = -1;
static CvPoint3D32f Control_pts[WW_MAX_MARK_COUNT];
static IplImage *image = NULL; //原始图像
static bool is_showControlLines = true;
class BezierCurve
{
private:
// 两个向量相加，p=p+q
static CvPoint3D32f BezierCurve_PointAdd(CvPoint3D32f p, CvPoint3D32f q) {
p.x += q.x; p.y += q.y; p.z += q.z;
return p;
}
// 向量和标量相乘p=c*p
static CvPoint3D32f BezierCurve_PointTimes(float c, CvPoint3D32f p) {
p.x *= c; p.y *= c; p.z *= c;
return p;
}
// 计算贝塞尔方程的值
// 变量u的范围在0-1之间
//P1*t^3 + P2*3*t^2*(1-t) + P3*3*t*(1-t)^2 + P4*(1-t)^3 = Pnew
static CvPoint3D32f BezierCurve_Bernstein(float u, CvPoint3D32f *p) {
CvPoint3D32f a, b, c, d, r;
a = BezierCurve_PointTimes(pow(u, 3), p[0]);
b = BezierCurve_PointTimes(3 * pow(u, 2)*(1 - u), p[1]);
c = BezierCurve_PointTimes(3 * u*pow((1 - u), 2), p[2]);
d = BezierCurve_PointTimes(pow((1 - u), 3), p[3]);
r = BezierCurve_PointAdd(BezierCurve_PointAdd(a, b), BezierCurve_PointAdd(c, d));
return r;
}
//画控制线
static void BezierCurve_DrawControlLine(CvPoint3D32f *p) {
CvPoint pc[4];
for (int i = 0; i<4; i++)
{
pc[i].x = (int)p[i].x;
pc[i].y = (int)p[i].y;
}
cvLine(image, pc[0], pc[1], CV_RGB(0, 0, 255), 1, CV_AA, 0);
cvLine(image, pc[2], pc[3], CV_RGB(0, 0, 255), 1, CV_AA, 0);
}
//得到最近Control_pts的index
static int BezierCurve_GetNearPointIndex(CvPoint mouse_pt)
{
CvPoint pt;
for (int i = 0; i<mark_count; i++)
{
pt.x = mouse_pt.x - (int)Control_pts[i].x;
pt.y = mouse_pt.y - (int)Control_pts[i].y;
float distance = sqrt((float)(pt.x*pt.x + pt.y*pt.y));
if (distance<10) return i;
}
return -1;
}
static void BezierCurve_On_mouse(int event, int x, int y, int flags, void *param)
{
if (event == CV_EVENT_LBUTTONDOWN)
{
CvPoint pt = cvPoint(x, y);
//cout<<x<<","<<y<<endl;
if (conner_pt_index >-1)
conner_pt_index = -1;
else
{
conner_pt_index = BezierCurve_GetNearPointIndex(pt);
//添加新的控制点
if (conner_pt_index == -1)
{
if (mark_count <= (WW_MAX_MARK_COUNT - 1))
{
Control_pts[mark_count].x = (float)pt.x;
Control_pts[mark_count].y = (float)pt.y;
Control_pts[mark_count].z = 0;
mark_count++;
}
}
}
}
else if (event == CV_EVENT_MOUSEMOVE) //修改控制点坐标
{
if (conner_pt_index >-1)
{
Control_pts[conner_pt_index].x = (float)x;
Control_pts[conner_pt_index].y = (float)y;
}
}
};
public:
//绘制贝塞尔曲线
void BezierCurve_BezierDraw();
};
void BezierCurve::BezierCurve_BezierDraw()
{
CvSize image_sz = cvSize(1000, 1000);
image = cvCreateImage(image_sz, 8, 3);
cvNamedWindow("Win", 0);
cvSetMouseCallback("Win", &BezierCurve::BezierCurve_On_mouse, 0);
cvResizeWindow("Win", 500, 500);
printf("============== Bezier curve DEMO ==============\n");
printf(" \n");
printf("1.use mouse to click control point (red) to select a control point\n");
printf("2.use mouse to modify control point");
printf("3.click mouse on somewhere to add a control point,add three points for add a new curve\n");
printf("4.use 'W','S' to add precision or reduce precision.\n");
printf("5.press 'Z' to show control points.\n");
printf("===press ESC to exit===\n");
//初始化四个控制点
Control_pts[0].x = 200;
Control_pts[0].y = 200;
Control_pts[0].z = 0;
Control_pts[1].x = 300;
Control_pts[1].y = 500;
Control_pts[1].z = 0;
Control_pts[2].x = 400;
Control_pts[2].y = 560;
Control_pts[2].z = 0;
Control_pts[3].x = 500;
Control_pts[3].y = 100;
Control_pts[3].z = 0;
int divs = 50; //控制精细度
for (;;)
{
CvPoint pt_now, pt_pre;
cvZero(image);
//绘制控制点
if (is_showControlLines)
{
for (int i = 0; i<mark_count; i++)
{
CvPoint ptc;
ptc.x = (int)Control_pts[i].x;
ptc.y = (int)Control_pts[i].y;
cvCircle(image, ptc, 4, CV_RGB(255, 0, 0), 1, CV_AA, 0);
}
}
//绘制Bezier曲线
CvPoint3D32f *pControls = Control_pts;
for (int j = 0; j<mark_count - 3; j += 3)
{
for (int i = 0; i <= divs; i++)
{
float u = (float)i / divs;
CvPoint3D32f newPt = BezierCurve_Bernstein(u, pControls);
pt_now.x = (int)newPt.x;
pt_now.y = (int)newPt.y;
if (i>0) cvLine(image, pt_now, pt_pre, CV_RGB(230, 255, 0), 2, CV_AA, 0);
pt_pre = pt_now;
}
//画控制线
if (is_showControlLines)BezierCurve_DrawControlLine(pControls);
pControls += 3;
}
cvShowImage("Win", image);
int keyCode = cvWaitKey(20);
if (keyCode == 27) break;
if (keyCode == 'w' || keyCode == 'W') divs += 2;
if (keyCode == 's' || keyCode == 'S') divs -= 2;
if (keyCode == 'z' || keyCode == 'Z') is_showControlLines = is_showControlLines ^ 1;
//cout<<"precision : "<<divs<<endl;
}
return ;
}
以上为贝塞尔曲线的Opencv实现，实现了根据输入点绘制贝塞尔曲线和适时调整贝塞尔曲线的功能，实现结果如图：
然而实际上，对于应用来说，平面贝塞尔曲线的应用并不广泛，在各种设计，工业应用中使用得比较多的是贝塞尔曲面，通过贝塞尔曲面模拟光滑曲面，进行曲面设计有很大的用图
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