曲率驱动扩散模型的影像修复

数学基础

基于TV模型影像修复的局限性

在TV模型1中，扩散强度只取决于对比度或等照度线的强度，在表达式中表现为：
$$\hat{D}=\frac{1}{|\Delta u|}\hspace{1cm}(1)$$
根据上式2，扩散强度并不取决于等照线的集合信息，对于一个曲面，其几何形状通过一个标量，曲率$k$来描述，对于文章3中图2TV模型失效的原因在于，在四个交点，其曲率为$\infty$相反门根据心理学校正在图中的校正结果，所有等照度线应该被处理的尽可能伸展和平整，因此曲率应该尽可能的小才对。

曲率扩散校正模型的数学基础

正是由于基于全局变差模型的校正方法存在以上问题，因此需要对模型进行改进将原始TV模型求$\hat{D}$的方法：
$$\hat{D}=f(|\Delta u|)\,,\hspace{1cm}(2)$$
修改为：
$$\hat{D}=\frac{g(|k|)}{\Delta u}\,,\hspace{1cm}(3)$$
其中$g(s)$是一个去除曲率极大值，稳定曲率极小值的函数，通过此函数，在曲率具有较大值的时候有比较强的扩散作用。因此对于文章图2中所示模型，能够更好的符合人类感知。在文章中函数$g(s)$为：
$$g(s)=s^p\,,\quad s>0\,,p\ge1\hspace{1cm}(4)$$
而在点$x$上的曲率$k$为等照线的量化曲率方向通过如下公式获取：
$$k=\Delta[\frac{\Delta u}{|\Delta u|}]\,.\hspace{1cm}(5)$$
因此CDD模型为：
$$\left\{\begin{array}{lr} \frac{\delta u}{\delta t}(or 0)=\Delta\cdot[\frac{g(|k|)}{|\Delta u|}\Delta u]\,,\quad x\in D \\ u=u^0\,,\quad x\in D^c \end{array}\hspace{1cm}(7) \right.$$
则求解时间进行的方程，初始值满足：$u(x,0)=u^0(x)\,,x\in D^c\,.$则曲率驱动的扩散场流为：
$$\textbf{j}=-\hat{D}\Delta u=-\frac{g(|k|)}{|\Delta u|}\Delta u\,,\hspace{1cm}(8)$$
在大多数情况下原始影像是存在噪声的，因此如果直接使用公式（7）进行修复，则对噪声比较敏感，文章提出了两种方式解决噪声的问题：
1.在使用CDD模型进行修复之前，先进行去噪处理；
2.在实用CDD模型的过程中进行去噪，对于此过程分为两个自然阶段，在修复区域内部使用公式（7）所示的CDD影像修复模型，而在正常的区域采用如下模型：
$$\frac{\delta u}{\delta t}(or 0)=\Delta\cdot[\frac{\Delta u}{\|\Delta u\|}]+\lambda(u-u^0)\quad(8)$$

数值解法

同样是以公式（7）为例，其数值解法为：
$$\frac{\delta u}{\delta t}=-\Delta \cdot\textbf{j}$$
则